余數(shù)同余問題是數(shù)學運算考查的傳統(tǒng)重點，也是考生犯難的難點題型。在解決這類問題時，根據(jù)余數(shù)有無規(guī)律我們可以進行分類，有一定的規(guī)律可以適用我們的規(guī)律，同余口訣如下：

余數(shù)取余，和同加和，差同減差，公倍數(shù)作周期。

（1）余同：“一個數(shù)除以4余1，除以5余1，除以6余1”，則取1，表示為60n＋1

（2）和同：“一個數(shù)除以4余3，除以5余2，除以6余1”，則取7，表示為60n＋7

（3）差同：“一個數(shù)除以4余1，除以5余2，除以6余3”，則取-3，表示為60n－3

選取的這個數(shù)加上除數(shù)的最小公倍數(shù)的任意整數(shù)倍（即例中的60n）都滿足條件。

注意：n的取值范圍為整數(shù)，既可以取負值，也可以取零值。

【例1】疫情期間，愛心人士向某街道捐贈了兩箱防疫物資，內(nèi)裝物資件數(shù)相同。街道將兩箱物資分別給了甲、乙兩個工作組，其中甲工作組除1人拿到4件物資外，其余每人各分得5件；乙工作組除1人拿到6件物資外，其余每人各分得7件。已知每箱物資數(shù)量在50到100件之間，則每箱裝有防疫物資（    ）件。

A.58       B.62      C.69      D.74

解析：分析題干可知，物資件數(shù)滿足除以5余4，除以7余6，即滿足“差同”，所以防疫物資每箱的件數(shù)滿足35n－1，因為在50—100之間，只能n＝2，代入得到數(shù)字為69。故本題答案選C。

【例2】某市場調(diào)查公司3個調(diào)查組共40余人，每組都有10余人且人數(shù)各不相同。2017年重新調(diào)整分組時發(fā)現(xiàn)，若想分為4個人數(shù)相同的小組，至少需要新招1人；若想分為5個人數(shù)相同的小組，至少還需要新招2人。問原來3個組中人數(shù)最多的組比人數(shù)最少的組至少多幾人？（    ）

A.2      B.3      C.4      D.5

解析：根據(jù)若想分為4個人數(shù)相同的小組，至少需要新招1人，說明總?cè)藬?shù)“除以4余3”；根據(jù)若想分為5個人數(shù)相同的小組，至少還需要新招2人，說明總?cè)藬?shù)“除以5余3”。根據(jù)口訣“余數(shù)取余，公倍數(shù)作周期，總?cè)藬?shù)可以表示為20n＋3”，條件說總?cè)藬?shù)是40余人，所以總?cè)藬?shù)應該正好是43人。

在同余問題中，如果不能直接利用口訣，那么可以通過枚舉的方式，找到滿足條件的一個數(shù)字，然后仍然是“公倍數(shù)作周期”。這種方法看似煩瑣，操作起來其實非常簡單。

【例3】某次比賽報名參賽者有213人，但實際參賽人數(shù)不足200。主辦方安排車輛時，每5人坐一輛車，最后多2人；安排就餐時，每8人坐一桌，最后多7人；分組比賽時，每7人一組，最后多6人。問未參賽人數(shù)占報名人數(shù)的比重在以下哪個范圍內(nèi)？（    ）

A.低于20%      B.20%—25%之間      C.25%—30%之間      D.高于30%

解析：根據(jù)條件已知，實際參賽人數(shù)除以5余2，除以8余7，除以7余6。根據(jù)差同減差，后兩個條件說明實際參賽人數(shù)可以表示為56n－1，第一個條件說明尾數(shù)應該是2或者7，因為56n－1肯定是奇數(shù)，所以尾數(shù)只能是7，另外實際人數(shù)不足200，n＝1，2，3……分別代入，只有n＝3時，滿足條件200以內(nèi)尾數(shù)是7，56×3－1＝167，所以未參賽人數(shù)為213－167＝46，占比為46÷213≈22%，故本題答案選B。

【例4】在1000以內(nèi)，除以3余2，除以7余3，除以11余4的數(shù)有多少個？（    ）

A.4      B.5      C.6      D.7

解析：這個題目三個條件沒有余同、合同、差同的情況，我們用試值法來找到一個滿足條件的情況。滿足除以3余2的數(shù)字為2、5、8、11……一一嘗試，發(fā)現(xiàn)第一個滿足“除以7余3”的數(shù)字是17，那么同時滿足前兩個條件的數(shù)字可以表示為21n＋17，其中的21是3和7的最小公倍數(shù)；然后我們在21n＋17的數(shù)字中尋找除以11余4的數(shù)字，很容易發(fā)現(xiàn)59是第一個滿足條件的數(shù)，所以59是滿足題干三個條件的一個數(shù)字。于是，所有滿足條件的數(shù)字可以表示為231n＋59，其中231是3，7，11的最小公倍數(shù)。1000以內(nèi)，n可以取0、1、2、3、4五個數(shù)值，一共有5個。故本題答案選B。